也谈小学数学的学科性质

杨庆余

作为科学的数学性质

数学（Mathematic）是什么？多少年来，人们一直试图在从哲学的层面来思考这个问题。追溯到公元前的四世纪，柏拉图及其学生亚里士多得等就认为，数学的对象就是存在于思想之外的客观世界。一直到了19世纪的中叶，非欧几何的确立，促使人们开始认识到，数学除了存在于客观的外部世界之外，还存在于人类的头脑中。因为它表明了人类在头脑中构造新的数学的能力。于是，数学开始逐渐摆脱了对现实世界（实验的或感觉的）依赖性，走向对逻辑体系的依赖。

Ernest指出1，对数学知识本质的认识，二千多年来，我们一直是从知识的哲学的角度来这样考量的，认为知识可以依照对其进行论证的依据来分类，分为“先验知识”和“后验知识”。所谓先验知识，就是“由仅仅根据推理而断定的那些命题所组成，而不依赖对现实世界的观察”，而“这里的推理由逻辑演绎及词语的涵义构成”；所谓后验知识，则是指“由依据经验确定的命题组成”，它“依赖对世界的观察”。2从而推断出，“数学知识归属于先验知识，因为它只由基于推理而断定的命题而构成。推理包括演绎逻辑和所用的定义，连同我们所假定的数学公理或公设，构成了推断数学知识的基础。由此，数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由演绎证明所组成的”。

而一些建构主义者认为，从数学知识的生成角度看，可能一个新的数学知识从主观知识（个体创造的知识）开始，在这个过程中，个体可能是先去“再建构”那些客观知识，同时，在某些方面的制约下（如个体的理解力、深层的判断以及推理等），使知识的呈现具有一定独特性的主观表征，并再对这些具有主观表征的知识进行某些“再创造”，从而建构具有自己独特性的数学知识。这些知识通过发布与共享，在更多群体间的审视、修正等活动后再形成并被接受，就成为客观知识。而在数学学习中，这种新的客观知识又被个体内化和建构，成为个体的主观知识，为个体的数学再创造和新的建构提供条件。

赫什也认为3，数学的对象是由人类发明和创造的。但它们不是任意被创造的，而是在已经存在着的数学对象的活动中以及从科学或日常生活的需要中产生。当然，数学知识一旦被创造后，其所具有的性质的确定性就是明确的，虽然有时可能我们难于发现这些性质，但它却是独立于我们的知识而存在的。

实际上，如果我们去考察一下数学的历史，也可以看到它的发展存在着两个起点。

一个是以实际问题为起点，即是为了了解客观存在的内部性质的需要，用以解决实践上的问题。例如，力学中要研究抛物体的运动轨迹，需要用图形来描述从而帮助分析，但如何作出这些曲线图形呢？笛卡尔用代数方法来研究这些曲线的特点，于是解析几何就产生了。

另一个是以理论问题为起点。即是为了了解思想存在的内部性质的需要，用以解决理论上的问题。例如，五世纪的普多克罗斯注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此，必定存在着两倍于直径的半圆。而枷利略却注意到，每个正整数与它的平方能建立一一对应的关系，而这些正整数的平方的集合应是正整数集合的真子集，这样就构成了一个整体和它的部分相等的悖论（史称枷利略悖论），为了解决这个悖论，康托等作了研究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。

当然，数学的最终起点还是现实世界，它更多地来自于人类的问题提出和问题解决，是人类力图对现实世界的最本质的和最一般的反映。超越现实世界的数学的产生，其目的还是为了获得对现实世界更合理、更准确的最一般的反映。那么，这个最一般的反映又是什么呢？

恩格斯曾对数学的这种性质作过如下的描述1：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一种科学。而近来，人们逐渐开始发现，数学不仅仅是研究空间形式，也研究空间关系。同时，数学也不仅仅是研究数量关系，也研究数量形式。于是，有人认为，可以借鉴前苏联的《哲学百科全书》中关于数学本质的描述2，对什么是数学做这么一个回答：数学是一门撇开内容而只研究形式和关系的科学，而且首先主要是研究数量的和空间的关系及其形式。一般说来，数学的研究对象可以是客观现实中的任何形式或关系，只要这些关系和形式在客观上能完全独立于它们的具体内容，而又能精确地表达它们的概念。因此，数学就可以定义为是关于逻辑上是可能的、纯粹的（即抽去了内容的）形式科学，或者说是关于关系系统的科学。

为此，我们似乎就可能获得这么一个简单的结论：数学是研究存在的（或称客观的、现实的）的形式或关系的科学，即是对现实世界的研究。同时，数学还是研究思想的（或称主观的、先验的）的形式或关系的科学，即是对数学世界的研究。这就是作为科学的数学的本质。

一般认为，作为科学的数学具有抽象性、逻辑严谨性和运用广泛性这三个特征。

·抽象性

我们知道，任何一门科学都不是直接处理现实对象，而是用一定的方法去处理其抽象的反映，这些方法就是通常我们所称的“模型”。而数学则是处理所有这些模型的抽象，是这些模型的一般模式。数学抽象性的最显著的特征，就是往往用模型来概括同类对象或同类对象关系。显然，数学是抽去了具体内容的一种形式，是作为一个独立的客体而存在的，它用形式化、符号化和精确化的语言来表现的一种“抽象的抽象”或“概括性的抽象”，它是以“一切存在的抽象的模型的模型1”而呈现的，是一种不具有任何物质的和能量的抽象。例如，数学研究的“直线”，是一种没有长短、粗细、轻重和颜色的等任何能量特征的“理想化”的对象。

·严谨性

数学的结果是从一些基本概念（或公理）出发并采用严格的逻辑推论而得到的。这种推论（推理）对于每一个懂得这样的规则并拥有一定数学基础的人来说，都是无需争辩的和确信无疑的。在这里，经验能起到一定的作用，但经验本身却不是获得数学推论的依据。数学的逻辑严谨性还带来了数学的精确性，也就是说，数学的表述具有相当严密的唯一性。而且数学语言常常反映在其他的学科（尤其是自然学科）之中，用来准确地表述概念或由经验所获得的发现。

数学的严谨性还表现在它的系统性。数学体系本身是一个精确的自然结构，而且是所有自然结构中最具有完美模型的特征的。它是以最简洁、最精确、最稳定的模型来揭示最本质、最抽象的关系系统的理论。正如弗赖簦塔尔所说2,数学与其他思维相比，有一个最大的特点，那就是对任何一个陈述，都可以确定其对或错。因为只有数学可以加上一个强有力的演绎结构。这就是所谓数学的严谨性。

·运用的广泛性

数学的对象领域，涉及到整个客观世界，因为没有一个物质的领域不呈现出数学可以研究的现象或规律的，尤其是社会的科学技术发展到今天，数学已经渗透到人们的所有生活之中。所以，数学可以运用到各个方面。同时，数学还在其他的科学中占有特殊的地位，因为无论是自然科学、社会科学甚至是思维科学，都可借用数学的严密性和抽象性的特点来做更为精确的研究或描述。

同时，作为科学的数学还具有这样几个特点3：其一，数学的对象是由人类发明或创造的；其二，数学的创造源于对现实世界和数学世界研究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个发展的动态体系。

*作为学科的数学性质*

“学科”是一个教育学的概念，专指学校课程内容中的一定科学领域的总称。当数学成为学校的教育教学的对象的时候，就称之为“数学学科”。数学学科源于数学科学，但它又区别于数学科学。

首先，从知识体系看，作为科学的数学，是一个完整的、独立于任何人的任何知识结构而存在的、特定的知识和思想体系。而作为教育的数学，则是一个经过人为的加工和提炼的、依据某一特殊人群（作为获得基础的人类文化遗产的学生）的特殊需要（即数学教育的目标）和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系；第二，从数学活动看，作为科学的数学，是一类专门的人（可以称之为“数学家”的那些人）的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，而作为教育的数学，则是一类专门的人（可以称之为“学生”的那些人）在某些专门的人（可以称之为“教师”的那些人）的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程；第三，从对象看，作为科学的数学，其对象是一个完全由符号、概念和规则等构成的和完全开放的逻辑结构系统，而作为教育的数学，其对象则是含有经验、直观的和几乎是封闭的逻辑结构系统；最后，从活动的目的看，作为科学的数学活动，是为了获得发现和创造数学，而作为教育的数学活动，是为了“接受”已经发现和创造的数学。

*作为小学课程的数学性质*

·具有生活数学的性质

长期以来，作为小学学科的数学，一直被认为就是指存在于数学科学体系中的，并经专业人士或专家加工和重新组织的一部分——被精简了的和形象化了的最基础的那一部分。正象P.Ernest描述的那样，我们一直认为，“数学是由人造就并唯一的存在与人的大脑，因此，学习数学的人的大脑造就或再造就数学就是必然的。在这个意义上，学习数学的人正是造就数学的人。”1即学习数学就是为了在大脑中“再造就”系统的和严密的数学知识。因此，我们往往将小学数学和科学的数学一样，也看作是一种形式数学。

而生活数学，是一种存在于生活实践活动中的非形式数学，是人们在社会生活的实践活动中获得交流和理解的数学。长期来，人们一直是将它排斥在数学科学之外的，认为它是一种纯经验的、非精确化了的、没有一个自然结构的和严密逻辑体系的知识群。于是，人们就认为，作为科学的数学，是一种抽象符号数学，更多运用的是逻辑和推理；而作为生活的数学，则是一种经验符号的数学，更多运用的是语言和直觉。

正因如此，长期以来，我们是将儿童在学校的数学学习活动与他们在生活中的经验活动是割裂开的，实际上，儿童在日常的生活实践中，也有许多的有意识的经验活动（被认为是形成“日常科学”的途径），并通过这种活动形成了许多的“日常概念”（也称为前科学概念——一种由经验而形成的非精确化的观念），使儿童的数学学习成为“日常概念”与科学概念交互作用的过程，是将儿童日常的生活或经验与数学科学结合起来的最好的桥梁。可惜，在数学学习中，我们常常不是去利用这些儿童已有的活动经验，反而可能会去用规范的数学概念来割裂它们。

长期的研究已经表明，儿童常常是通过探索他们自己的生活世界和精神世界来了解并获得学习的，是通过自己的大量的实践活动来获得数学知识的，是在许许多多的问题解决过程来发展自己的数学认知能力的。儿童认识数学的起点并不是符号所组成逻辑公理，而是它们自己的生活实践所形成的经验。儿童的数学活动也不是从观察符号开始，用逻辑推理来进行的，而是从观察现象，用特征归纳来进行的。

例如，一个儿童，两只手上都有几块糖果，他想知道有多少，就会用数数的方式，从一只手上的糖果开始数起，依次数到第二只手上的最后一块糖果。这样的活动几次以后，他突然会将所有手上的糖果一起倒在卓上，然后再来数。于是，他就构建了基本的“加法”思想。

事实上，在儿童的生活中处处有着数学，数学就在他们所有碰到的现象中，所有遇到的问题中，所有采取的行为方式中都可能有着数学。因此，“应该将数学成为儿童生活中的一个部分。我们要让儿童认识到，数学知识就是源于他们普通的社会生活的常识，他们当中的每一个人都有可能在一定的指导下，通过自己的实践活动来获得这些知识。要让儿童在接触属于他们自己的物质世界和接触其他儿童的过程中去发现问题，并能用数学的思想和方法去解决问题，从而有可能去建立数学概念，形成数学结构，发展数学素养。这就是儿童学习数学的实践价值所在”1。

Niss指出：“数学教育的目的应该使学生能够认识、理解、判断、运用数学，并能经常在社会中运用数学，特别要在对学生的个人、社会及职业生活有实际意义的背景中运用数学”2。P.Ernest也认为3，“数学是社会的建构”，“它的发展来自人的创造和人的决断”，因此，“中小学数学不应是外在的知识，让学生感到陌生，而要处于学生的文化和生活现实中”。正如Dewey所说1，必须填平儿童兴趣和经验与科学之间的鸿沟，儿童的经验和文化应该成为学校学习的基础。显见，对于学校来说，数学可能就是教育课程中的一个部分，而对于儿童来说，可能数学就是他们现实生活和社会实践中的一个部分。所以，作为小学课程的数学，根本的任务就是如何通过合理的组织来帮助儿童实现生活经验的“数学化”。

·具有经验数学的性质

作为科学的数学，是一种纯粹形式化的数学，一种从公理体系开始，通过非常严格的逻辑演绎的发展而形成的数学，一种为了理解数学世界而学习的数学。而但作为小学学科教育的数学也被认为就是这个体系中的一部分的时候，其性质的认识也就被认为就是“需要儿童接受的数学科学的一部分——如关于算术的逻辑体系”。

而对儿童来说，他们所能理解的数学，往往就是作为他们生活的数学，一种非完全形式化的数学，一种由日常经验开始的并通过不太严密的归纳概括的发展而形成的数学，一种为了理解现实的生活世界而学习的数学。

例如，在弗赖簦塔尔看来，一个6岁的儿童用手指或计算器算出8＋5＝13，对成人来说，可能那并不算是什么数学，但在这个年龄层次的儿童来说，就是一个严格的数学证明。又如，儿童认识加法就是从已有的生活经验开始，在具体的数数的基础上概括形成的。可见，我们所理解的作为科学的数学与作为儿童学习的学科的数学，还是有一定的差异的。

首先，表现在数学学习的层次有差异。科学的数学往往用的是逻辑演绎，而儿童往往更多用的是经验归纳。

其次，表现在数学活动的过程有差异。作为科学的数学更多的是抽象符号的推演，而儿童更多的则是直观材料的操作。例如，对于“均分”，开始时，儿童可能会依照经验，为了保证每个人所得的同样多，就用一种类似于一群人围在一起打牌时发牌的方式，将物品轮流地一个一个地分发（有时也会每一次先等量地分发给每一个人，然后在这样轮发），用弗兰登塔尔的观点，这就是关于分配问题的“横向数学化”。但是，当任务较大时（要分的物品或分配的对象等数额较大）时，他们就会开始去尝试获得另外一种分法，即用寻找尽可能大的份额来一次性地完成分配，最终形成了用“除法”的概念与算法，这就是弗兰登塔尔所说的“纵向数学化”——逐步的图式化。

最后，还表现在认识并构建数学知识的方式上有差异。例如，一群小朋友在做一个争夺红旗的游戏，有一面小红旗插在地上，然后让这些小朋友排列在红旗的正前方，等老师发出口令后，大家都奔上前去夺这面红旗，以夺到者为胜。它们可能立刻就会提出异议，这样的游戏方法不公平，理由是每一个人到达红旗的距离不相等。那么，怎样解决最合理呢？思考、讨论、尝试等一系列的探究活动，它们很快就逐渐形成一个手拉手的形状（一个圆），于是，一个“动点到定点是一个定长”的意识就开始形成了——尽管它并不是一个严格的数学概念。而对科学的数学来说，就可能会是从空间的“点集”的性质特征来构建“圆”的概念的。

实际上，在儿童的生活中已经存在着许多有关数学的经验，只是这些经验常常是零散的、混沌的、表象的、粗糙的或者是无序的。最有效的学习组织就是能积极地唤起儿童的这些经验，使他们能在教师有序引导下主动地去将这些经验“数学化”。

·具有现实数学的性质

按“科学结构主义”的观点，数学本身是一个有组织的和严密的演绎体系，这就是所说的理论的数学。而建构主义也认为，在我们的现实世界中，无处不存在着数学的现象，虽然这些现象常常是局部的，这就是所说的现实的数学。

理论的数学是依靠公理体系来支撑的，是不依赖于人的经验的，是存在于数学家头脑世界之中的，它可能有各种各样的问题，但这些问题是存在于完整的体系之中的。而现实数学是依靠“局部组织”来支撑的，它往往是依赖于人的经验的，是存在于我们的现实之中的，它可能也有各种各样的疑问，但它们常常是存在于没有完整的体系之中的。

现实的数学实际上是由不同个体在不同的环境中的不同生活的经验所形成的，用以支持自己在社会生活中的行为决策和行为方式的。虽然现实的数学并不存在于严密的结构和体系之中，对于大多数的人来说，但却是他们加强与外部世界进行沟通和交互，从而获得高质量生存并推进社会进步的一些必要的知识，同时也是他们进一步研究数学科学的必要基础。

因此，数学教学应该引导儿童观察和认识周围世界最简单的数量关系，建立情境与一般法则的联系，从而激发他们超越这些规则并能用数学语言来进行表达的动机，真正使用数学知识成为学生生活和思维的组成部分，这对儿童来说是非常主要的。因为，在现实情景中发展儿童的数学素养是一个重要的途径。因为儿童可以在这些实践、操作以及使用具体材料的过程中，有效地获取知识和技能，增进理解；运用数学知识发现和解决一系列现实生活问题；处理由课程其它领域或其它学科提出的问题；对数学内部的规律和原理进行探索研究等。概括地说，要学好数学就要用数学对具体情境进行思考和探索。这时，学生需要学会如何面对新的事物；学生需要学会如何逻辑地和有创意地思考；学生需要学会如何分析和解决问题；学生需要学会如何获得信息并有效地加以处理；学生需要学会如何与别人交流与沟通；如此等等。

所以，与作为科学的数学不同，作为小学学科的数学，可能更多的是通过教师有效的组织儿童开展充分的和积极的数学活动，帮助和引导儿童在实践、操作以及使用具体材料的过程中，获取知识和技能，增进理解；帮助和引导儿童不断地运用数学知识去发现和解决一系列现实生活问题；帮助和引导儿童处理由课程其它领域或其它学科提出的问题；帮助和引导儿童对数学内部的规律和原理进行探索研究。使儿童在不断地将自己的经验“数学化”的过程中，知道要学好数学，就要用数学对具体情境进行思考和探索；了解到数学表达系统是当作工具使用的，这些系统必须与它们运用其中的情境相连才是有意义的。这就是作为小学课程的现实的数学的价值所在。

*杨庆余，上海师范大学小学教育研究所所长。上海，200234